Privat Surabaya – Teorema Pythagoras adalah salah satu teorema fundamental dalam matematika yang berlaku pada segitiga siku-siku. Teorema ini menyatakan bahwa dalam sebuah segitiga siku-siku, kuadrat panjang sisi miring (hipotenusa) sama dengan jumlah kuadrat panjang kedua sisi lainnya.
Secara matematis, teorema ini dapat dirumuskan sebagai berikut:
\(\displaystyle {{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}\)
Di mana:
- \(\displaystyle c\) adalah panjang sisi miring (hipotenusa)
- \(\displaystyle a\) dan \(\displaystyle b\) adalah panjang sisi-sisi lainnya
Sejarah Teorema Pythagoras
Teorema ini dinamai berdasarkan seorang matematikawan Yunani kuno, Pythagoras, yang hidup pada abad ke-6 SM. Meskipun teorema ini telah dikenal oleh peradaban Mesir dan Babilonia sebelum Pythagoras, dialah yang pertama kali membuktikan secara formal hubungan ini.
Penerapan Teorema Pythagoras
Teorema Pythagoras banyak digunakan dalam berbagai bidang seperti arsitektur, navigasi, fisika, dan bahkan dalam bidang teknologi modern seperti GPS dan grafika komputer.
Contoh Penggunaan:
- Menentukan Panjang Diagonal
- Dalam bidang konstruksi, teorema ini digunakan untuk menentukan panjang diagonal suatu bangunan.
- Menentukan Jarak Terpendek
- Dalam navigasi, jika seseorang berjalan ke timur sejauh 3 km lalu ke utara sejauh 4 km, jarak langsungnya dapat dihitung dengan teorema Pythagoras.
Tripel-tripel Pythagoras
Tripel Pythagoras adalah tiga bilangan bulat positif yang memenuhi teorema Pythagoras, yaitu:
\(\displaystyle {{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{c}^{2}}\)
dengan \(a\) dan \(b\) sebagai sisi segitiga siku-siku, serta \(c\) sebagai sisi miring. Contoh tripel Pythagoras yang paling umum adalah (3, 4, 5), karena:
\(\displaystyle {{3}^{2}}+{{4}^{2}}=9+16=25={{5}^{2}}\)
Contoh lainnya adalah (5, 12, 13) dan (8, 15, 17).
Tripel Pythagoras sering digunakan dalam geometri, arsitektur, dan teknik untuk memastikan sudut siku-siku. Dalam matematika, konsep ini juga bermanfaat dalam teori bilangan dan kriptografi.
Untuk menemukan tripel Pythagoras lainnya, gunakan rumus:
\(\displaystyle ({{m}^{2}}-{{n}^{2}},2mn,{{m}^{2}}+{{n}^{2}})\)
dengan \(m>n\).
Berikut tripel Pythagoras yang dapat digunakan dalam menyelesaikan masalah pada soal.
| 3, 4, 5 | 5, 12, 13 | 8, 15, 17 | 7, 24, 25 |
| 20, 21, 29 | 12, 35, 37 | 9, 40, 41 | 28, 45, 53 |
| 11, 60, 61 | 16, 63, 65 | 33, 56, 65 | 48, 55, 73 |
| 13, 84, 85 | 36, 77, 85 | 39, 80, 89 | 65, 72, 97 |
Contoh Soal dan Penyelesaiannya
Contoh Soal 1
Sebuah segitiga siku-siku memiliki panjang sisi alas 6 cm dan tinggi 8 cm. Tentukan panjang sisi miringnya.
Penyelesaian: Diketahui: \(\displaystyle a=6\text{ cm},\ b=8\text{ cm}\)
Gunakan rumus:
\(\displaystyle {{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}\) \(\displaystyle {{c}^{2}}={{6}^{2}}+{{8}^{2}}\)
\(\displaystyle {{c}^{2}}=36+64\)
\(\displaystyle {{c}^{2}}=100\)
\(\displaystyle c=\sqrt{100}=10\text{ cm}\)
Jadi, panjang sisi miringnya adalah 10 cm.
Contoh Soal 2
Sebuah tangga sepanjang 13 meter disandarkan ke tembok. Jika jarak kaki tangga dari tembok adalah 5 meter, tentukan tinggi tembok yang disentuh tangga.
Penyelesaian: Diketahui: \(\displaystyle c=13\text{ m},\ a=5\text{ m}\)
Gunakan rumus:
\(\displaystyle {{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}\)
\(\displaystyle {{13}^{2}}={{5}^{2}}+{{b}^{2}}\)
\(\displaystyle 169=25+{{b}^{2}}\)
\(\displaystyle {{b}^{2}}=144\)
\(\displaystyle b=\sqrt{144}=12\text{ m}\)
Jadi, tinggi tembok yang disentuh tangga adalah 12 meter.
Soal HOTS (Higher Order Thinking Skills)
Soal 1
Seorang petani memiliki ladang berbentuk segitiga siku-siku. Jika panjang salah satu sisi tegak adalah 9 meter dan sisi miringnya adalah 15 meter, hitung panjang sisi lainnya. Jelaskan langkah-langkah penyelesaiannya.
Diketahui segitiga siku-siku dengan: Salah satu sisi tegak 9 meter Sisi miring (hipotenusa) 15 meter
Kita gunakan Teorema Pythagoras: \(\displaystyle {{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}\)
Substitusi nilai yang diketahui: \(\displaystyle {{15}^{2}}={{9}^{2}}+{{b}^{2}}\)
Hitung kuadrat masing-masing bilangan:
\(\displaystyle 225=81+{{b}^{2}}\)
\(\displaystyle {{b}^{2}}=225-81\)
\(\displaystyle {{b}^{2}}=144\)
Ambil akar kuadrat kedua sisi: \(\displaystyle b=\sqrt{144}=12\)
Jadi, panjang sisi lainnya adalah 12 meter.
Soal 2
Sebuah perahu berlayar ke arah timur sejauh 8 km lalu ke utara sejauh 6 km. Jika perahu ingin kembali langsung ke titik awal, berapa kilometer jarak yang harus ditempuh?
Diketahui perahu bergerak: Ke timur sejauh 8 km Ke utara sejauh 6 km Untuk kembali langsung ke titik awal, perahu menempuh jalur garis lurus yang membentuk segitiga siku-siku dengan perjalanan sebelumnya.
Gunakan Teorema Pythagoras: \(\displaystyle {{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}\)
Substitusi nilai yang diketahui: \(\displaystyle {{c}^{2}}={{8}^{2}}+{{6}^{2}}\)
Hitung kuadrat masing-masing bilangan: \(\displaystyle {{c}^{2}}=64+36\) \(\displaystyle {{c}^{2}}=100\)
Ambil akar kuadrat kedua sisi: \(\displaystyle c=\sqrt{100}=10\)
Jadi, jarak yang harus ditempuh perahu untuk kembali ke titik awal adalah 10 km.
Soal 3
Dalam sebuah papan reklame berbentuk segitiga siku-siku, panjang salah satu sisinya adalah 24 cm dan sisi miringnya adalah 25 cm. Jika ingin menambah panjang sisi lainnya sebesar 2 cm, apakah masih memenuhi teorema Pythagoras? Jelaskan.
Diketahui papan reklame berbentuk segitiga siku-siku dengan: Salah satu sisi tegak 24 24 cm Sisi miring (hipotenusa) 25 25 cm Sisi lainnya b yang belum diketahui Gunakan Teorema Pythagoras:
\(\displaystyle {{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}\)
Substitusi nilai yang diketahui: \(\displaystyle {{25}^{2}}={{24}^{2}}+{{b}^{2}}\)
Hitung kuadrat masing-masing bilangan: \(\displaystyle 625=576+{{b}^{2}}\)
\(\displaystyle {{b}^{2}}=625-576\) \(\displaystyle {{b}^{2}}=49\)
Ambil akar kuadrat kedua sisi: \(\displaystyle b=\sqrt{49}=7\)
Setelah penambahan panjang sisi lainnya sebesar 2 cm, maka panjang sisi tersebut menjadi:
\(\displaystyle b’ = 7+2 = 9\) Sekarang, cek apakah masih memenuhi Teorema Pythagoras:
\(\displaystyle {{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b’}^{2}}\) \(\displaystyle {{25}^{2}}={{24}^{2}}+{{9}^{2}}\)
Hitung hasilnya: \(\displaystyle 625=576+81\) \(\displaystyle 625\neq 657\)
Karena kedua sisi tidak sama, maka tidak memenuhi Teorema Pythagoras.
Kesimpulan: Jika panjang sisi lainnya ditambah 2 cm, maka bentuknya bukan lagi segitiga siku-siku.
Soal 4
Diketahui segitiga ABC adalah segitiga siku-siku di B. Jika panjang AB = 7 cm dan panjang BC = x cm, sedangkan panjang AC adalah 25 cm, tentukan nilai x dan berikan alasan matematisnya.
Diketahui segitiga ABC adalah segitiga siku-siku di B, dengan:
– Panjang AB = 7 cm
– Panjang BC = x cm (belum diketahui)
– Panjang AC = 25 cm (hipotenusa)
Gunakan Teorema Pythagoras:
\(\displaystyle {{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}\)
Substitusi nilai yang diketahui:
\(\displaystyle {{25}^{2}}={{7}^{2}}+{{x}^{2}}\)
Hitung kuadrat masing-masing bilangan:
\(\displaystyle 625=49+{{x}^{2}}\)
Isolasi \( x^2 \):
\(\displaystyle {{x}^{2}}=625-49\)
\(\displaystyle {{x}^{2}}=576\)
Ambil akar kuadrat kedua sisi:
\(\displaystyle x=\sqrt{576}=24\)
Kesimpulan
Nilai x = 24 cm, sehingga panjang BC adalah 24 cm.
Soal 5
Sebuah drone terbang dari titik A ke titik B secara horizontal sejauh 12 km, kemudian naik secara vertikal sejauh 16 km ke titik C. Tentukan jarak langsung dari titik A ke titik C.
Diketahui drone bergerak:
– Dari titik A ke titik B secara horizontal sejauh 12 km
– Dari titik B ke titik C secara vertikal sejauh 16 km
Jarak langsung dari titik A ke titik C membentuk segitiga siku-siku dengan:
– AB sebagai alas = 12 km
– BC sebagai tinggi = 16 km
– AC sebagai sisi miring yang akan dicari
Gunakan Teorema Pythagoras:
\(\displaystyle {{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}\)
Substitusi nilai yang diketahui:
\(\displaystyle {{AC}^{2}}={{12}^{2}}+{{16}^{2}}\)
Hitung kuadrat masing-masing bilangan:
\(\displaystyle {{AC}^{2}}=144+256\)
\(\displaystyle {{AC}^{2}}=400\)
Ambil akar kuadrat kedua sisi:
\(\displaystyle AC=\sqrt{400}=20\)Jarak langsung dari titik A ke titik C adalah 20 km.
Teorema Pythagoras adalah konsep penting dalam geometri yang membantu dalam menghitung panjang sisi segitiga siku-siku. Dengan memahami konsep ini, kita dapat menyelesaikan berbagai permasalahan dalam kehidupan nyata. Soal HOTS di atas bertujuan untuk melatih pemahaman mendalam terhadap teorema ini dan menerapkannya dalam berbagai situasi kompleks.
Tinggalkan komentar